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Ejercicios de antiderivadas resueltos

Ejercicios de antiderivadas resueltos

Cómo resolver fácilmente problemas de integración indefinida

La Calculadora de Integrales te permite calcular integrales y antiderivadas de funciones online, ¡gratis! Nuestra calculadora te permite comprobar tus soluciones a los ejercicios de cálculo. Te ayuda a practicar mostrándote el funcionamiento completo (integración paso a paso). La Calculadora Integral soporta integrales definidas e indefinidas (antiderivadas), así como la integración de funciones con muchas variables. También puedes comprobar tus respuestas. Los gráficos/trazados interactivos ayudan a visualizar y comprender mejor las funciones.Para saber más sobre cómo utilizar la Calculadora Integral, ve a la “Ayuda” o echa un vistazo a los ejemplos.Y ahora: ¡Feliz integración!

Introduce la función que quieres integrar en la Calculadora Integral. Omite la parte “f(x) =” y la diferencial “dx”. La Calculadora Integral te mostrará una versión gráfica de tu entrada mientras escribes. Asegúrate de que muestra exactamente lo que quieres. Utiliza paréntesis, si es necesario, por ejemplo “a/(b+c)”.En “Ejemplos”, puedes ver qué funciones admite la Calculadora Integral y cómo utilizarlas.Cuando termines de introducir tu función, haz clic en “Go!”, y la Calculadora Integral mostrará el resultado a continuación.En “Opciones”, puedes establecer la variable de integración y los límites de integración. Si no especificas los límites, sólo se calculará la antiderivada.

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Ejercicios de integración por partes

Llegados a este punto, hemos visto cómo se calculan las derivadas de muchas funciones y se nos ha presentado una variedad de sus aplicaciones. Ahora nos planteamos una pregunta que da la vuelta a este proceso: Dada una función f,f, ¿cómo encontramos una función con la derivada ff y por qué nos interesa dicha función?

Llegados a este punto, sabemos cómo encontrar derivadas de varias funciones. Ahora nos planteamos la pregunta contraria. Dada una función f,f, ¿cómo podemos encontrar una función con derivada f?f? Si podemos encontrar una función FF con derivada f,f, llamamos a FF antiderivada de f.f.

Consideremos la función f(x)=2x.f(x)=2x. Conociendo la regla de la potencia de la diferenciación, concluimos que F(x)=x2F(x)=x2 es una antiderivada de ff ya que F′(x)=2x.F′(x)=2x. ¿Existen otras antiderivadas de f? Sí; como la derivada de cualquier constante CC es cero, x2+Cx2+C es también una antiderivada de 2x.2x. Por tanto, x2+5×2+5 y x2-2×2-2 son también antiderivadas. ¿Hay otras que no sean de la forma x2+Cx2+C para alguna constante C?C? La respuesta es no. Por el Corolario 22 del Teorema del Valor Medio, sabemos que si FF y GG son funciones diferenciables tales que F′(x)=G′(x),F′(x)=G′(x), entonces F(x)-G(x)=CF(x)-G(x)=C para alguna constante C.C. Este hecho conduce al siguiente teorema importante.

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Preguntas y respuestas sobre la integral indefinida

Para calcular integrales, ahora vemos que es importante saber encontrar antiderivadas de funciones. Una antiderivada de una función \(f(x)\N es una función cuya derivada es igual a \N(f(x)\N.) Es decir, si \(F'(x) = f(x)\Nes una antiderivada de \Nf(f(x)\Nuna integral indefinida.

Una integral indefinida es una integral escrita sin terminales; simplemente nos pide encontrar una antiderivada general del integrando. No se trata de una función, sino de una familia de funciones que se diferencian por constantes, por lo que la respuesta debe tener un término “constante \(+\)” para indicar todas las antiderivadas.

Nota. Podrías pensar que, como hay varias integrales indefinidas en la segunda línea de estas ecuaciones, debería haber varias constantes diferentes en la respuesta. Pero como la suma de varias constantes sigue siendo una constante, podemos escribir una sola constante.

Ejercicios de técnicas de integración

En esta sección nos centramos en la integral indefinida: su definición, las diferencias entre las integrales definidas e indefinidas, algunas reglas integrales básicas y cómo calcular una integral definida.

Recordemos la definición de antiderivada del apartado 1.1: Una función \(F\) es una antiderivada de \(f\) en un intervalo \(I\) si \(F'(x)=f(x)\) para todo \(x\) en \(I\text{.}) Exploremos la antiderivada concretamente dejando \(f(x)=2x\text{.}) Entonces podemos determinar fácilmente que la antiderivada de \(f\) es la función \(F(x)=x^2\text{,}\}, es decir, \(F'(x)=f(x)\text{.}\}. Sin embargo, la función \(F(x)+1 = x^2+1\) también tiene como derivada \(f\):

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No nos sorprende que las gráficas de la familia de funciones \(F(x)+C\) sean visualmente sólo desplazamientos verticales de \(F(x)\text{.}\} En el caso particular cuando \(F(x)=x^2\text{,}\) también podemos ver con las gráficas de la familia de funciones \(F(x)+C\) abajo que en cualquier punto \(x\) las rectas tangentes son paralelas, es decir, las pendientes de las tangentes son las mismas, es decir, la familia de funciones tiene la misma derivada \(f(x)=2x\text{,}\}