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Ecuaciones lineales de primer orden

Ecuaciones lineales de primer orden

Ecuación diferencial de bernoulli

x. El método para resolver este tipo de ecuaciones es similar al utilizado para resolver ecuaciones no exactas. Allí, la ecuación no exacta se multiplicaba por un factor integrador, lo que facilitaba su resolución (porque la ecuación se convertía en exacta).

En lugar de tener x como variable independiente e y como dependiente, en este problema t es la variable independiente y x es la dependiente. Así, la solución no será de la forma “y = alguna función de x” sino que será “x = alguna función de t”.

Ecuaciones diferenciales lineales

Aquí, \(F\) es una función de tres variables que etiquetamos \(t\), \(y\), y \(\dot{y}\). Se entiende que \(\dot{y}\) aparecerá explícitamente en la ecuación aunque \(t\) y \(y\) no necesitan. El término “primer orden” significa que la primera derivada de \(y\) aparece, pero ninguna derivada de orden superior lo hace.

La ecuación general de primer orden es demasiado general, es decir, no podemos describir métodos que funcionen con todas, o incluso con una gran parte de ellas. Podemos avanzar con tipos específicos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Por ejemplo, se puede decir mucho sobre ecuaciones de la forma \(\dot{y} = \phi (t, y)\) donde \(\phi \) es una función de las dos variables \(t\) y \(y\). Bajo condiciones razonables sobre \(\phi\), dicha ecuación tiene solución y el correspondiente problema de valor inicial tiene una solución única. Sin embargo, en general, estas ecuaciones pueden ser muy difíciles o imposibles de resolver explícitamente.

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Consideremos este ejemplo específico de un problema de valor inicial para la ley de enfriamiento de Newton: \(\dot y = 2(25-y)\), \(y(0)=40\). Primero observamos que si \(y(t_0) = 25\), el lado derecho de la ecuación diferencial es cero, y por tanto la función constante \(y(t)=25\) es una solución de la ecuación diferencial. No es una solución del problema de valor inicial, ya que \(y(0)\ no=40\). (La interpretación física de esta solución constante es que si un líquido está a la misma temperatura que su entorno, entonces el líquido permanecerá a esa temperatura). Mientras \(y\) no sea 25, podemos reescribir la ecuación diferencial como

Calculadora de ecuaciones diferenciales

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

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El primer caso especial de ecuaciones diferenciales de primer orden que veremos es la ecuación diferencial lineal de primer orden. En este caso, a diferencia de la mayoría de los casos de primer orden que veremos, podemos derivar una fórmula para la solución general. La solución general se deriva a continuación. Sin embargo, le sugerimos que no memorice la fórmula en sí. En lugar de memorizar la fórmula deberías memorizar y entender el proceso que voy a utilizar para derivar la fórmula. En realidad, la mayoría de los problemas son más fáciles de resolver utilizando el proceso en lugar de la fórmula.

Entonces, veamos cómo resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden. Recuerde que a medida que avanzamos a través de este proceso que el objetivo es llegar a una solución que está en la forma \ (y = y\left( t \right)\). A veces es fácil perder de vista el objetivo cuando pasamos por este proceso por primera vez.

Solución particular de una ecuación diferencial de segundo orden

En muchos campos como la física, la biología o la empresa, a menudo se conoce o se supone una relación entre alguna cantidad desconocida y su tasa de cambio, que no implica ninguna derivada superior. Por lo tanto, resulta interesante estudiar las ecuaciones diferenciales de primer orden en particular.

Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación de la forma \(F(t, y, y’)=0text{.}\) Una solución de una ecuación diferencial de primer orden es una función \(f(t)\) que hace que \ds F(t,f(t),f'(t))=0\) para todo valor de \(t\text{. Se entiende que la variable \ds F(t,f(t,f’))=0) para cualquier valor de \text{…}) Aquí, \ds F es una función de tres variables que etiquetamos como \text{…}) \ts{…} y \ts{…}) Se entiende que \ts{…} aparecerá explícitamente en la ecuación aunque \ts{…} y \ts{…} no es necesario. La propia variable \(y\) depende de \(t\text{,}\) por lo que se entiende que \(y’\) debe ser la derivada de \(y\) con respecto a \(t\text{,}\) Dado que sólo aparece la primera derivada de \(y\), pero ninguna derivada de orden superior, se trata de una ecuación diferencial de primer orden.

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