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Ecuaciones diferenciales exactas paso a paso

Ecuaciones diferenciales exactas paso a paso

calculadora de ecuaciones diferenciales exactas con pasos

En el cálculo diferencial, una ecuación que implica diferenciales o coeficientes diferenciales se llama ecuación diferencial. Consta de dos o más términos. Las ecuaciones que tienen el orden uno, se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias. Se pueden definir como las ecuaciones diferenciales en las que todos los coeficientes tienen referencia a una sola variable independiente.

Definición: Cualquier ecuación diferencial que pueda derivarse de su primitiva por diferenciación directa sin ninguna transformación posterior, como la eliminación o la reducción, se llama ecuación diferencial exacta.

Por factor integrador, entendemos aquellas funciones de x y u que al multiplicarse con la ecuación diferencial la hacen exacta. Por lo tanto, algunas ecuaciones que no son exactas pueden hacerse exactas reordenando los términos y convirtiéndolas en ecuaciones diferenciales exactas.

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Por ejemplo, en la ecuación (x2 + 2y)y′ + 2xy + 1 = 0, la derivada x de x2 + 2y es 2x y la derivada y de 2xy + 1 es también 2x, y la función R = x2y + x + y2 satisface las condiciones Rx = Q y Ry = P. La función definida implícitamente por x2y + x + y2 = c resolverá la ecuación original. A veces, si una ecuación no es exacta, puede hacerse exacta multiplicando cada término por una función adecuada llamada factor integrador. Por ejemplo, si la ecuación 3y + 2xy′ = 0 se multiplica por 1/xy, se convierte en 3/x + 2y′/y = 0, que es el resultado directo de diferenciar la ecuación en la que aparece la función logarítmica natural (ln): 3 ln x + 2 ln y = c, o equivalentemente x3y2 = c, que define implícitamente una función que satisfará la ecuación original.

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Las ecuaciones de orden superior también se llaman exactas si son el resultado de diferenciar una ecuación de orden inferior. Por ejemplo, la ecuación de segundo orden p(x)y″ + q(x)y′ + r(x)y = 0 es exacta si existe una expresión de primer orden p(x)y′ + s(x)y tal que su derivada sea la ecuación dada. La ecuación dada será exacta si, y sólo si, p″ – q′ + r = 0, en cuyo caso s en la ecuación reducida será igual a q – p′. Si la ecuación no es exacta, puede haber una función z(x), también llamada factor integrador, tal que cuando la ecuación se multiplica por la función z se convierte en exacta.

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En las aplicaciones físicas las funciones I y J suelen ser no sólo continuas sino incluso continuamente diferenciables. El Teorema de Schwarz nos proporciona entonces un criterio necesario para la existencia de una función potencial. Para ecuaciones diferenciales definidas en conjuntos simplemente conexos el criterio es incluso suficiente y obtenemos el siguiente teorema:

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Dada una ecuación diferencial exacta definida en algún subconjunto simplemente conexo y abierto D de R2 con una función potencial F, una función diferenciable f con (x, f(x)) en D es una solución si y sólo si existe un número real c para que

{\displaystyle {\parcial I sobre \parcial x}+{dy sobre dx}\left({\parcial I sobre \parcial y}+{parcial J sobre \parcial x}+{parcial J sobre \parcial y}{dy sobre dx}\right)+{d^{2}y sobre dx^{2}}left(J\left(x,y\right)\right)=0}

ecuación diferencial de bernoulli

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El siguiente tipo de ecuaciones diferenciales de primer orden que veremos son las ecuaciones diferenciales exactas. Antes de entrar en los detalles de la resolución de las ecuaciones diferenciales exactas, probablemente sea mejor trabajar con un ejemplo que nos ayude a mostrar lo que es una ecuación diferencial exacta. También mostrará algunos de los detalles detrás de las escenas que por lo general no se molestan en el proceso de solución.

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La mayor parte del siguiente ejemplo no se hará en ninguno de los ejemplos restantes y el trabajo que pondremos en los ejemplos restantes no se mostrará en este ejemplo. El objetivo de este ejemplo es mostrar lo que es una ecuación diferencial exacta, cómo usamos este hecho para llegar a una solución y por qué el proceso funciona como lo hace. La mayoría de los detalles de la solución real se mostrarán en un ejemplo posterior.