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Continuidad en calculo diferencial

Continuidad en calculo diferencial

qué es la continuidad en el cálculo

Muchas funciones tienen la propiedad de que sus gráficas se pueden trazar con un lápiz sin levantar el lápiz de la página. Estas funciones se llaman continuas. Otras funciones tienen puntos en los que se produce una ruptura en la gráfica, pero satisfacen esta propiedad sobre intervalos contenidos en sus dominios. Son continuas en estos intervalos y se dice que tienen una discontinuidad en un punto donde se produce una ruptura.

Comenzamos nuestra investigación sobre la continuidad explorando qué significa que una función tenga continuidad en un punto. Intuitivamente, una función es continua en un punto concreto si no hay ninguna ruptura en su gráfica en ese punto.

Antes de estudiar una definición formal de lo que significa que una función sea continua en un punto, vamos a considerar varias funciones que no cumplen nuestra noción intuitiva de lo que significa ser continua en un punto. A continuación, creamos una lista de condiciones que impiden tales fallos.

Sin embargo, como vemos en [link], estas dos condiciones por sí solas no garantizan la continuidad en un punto. La función de esta figura satisface nuestras dos primeras condiciones, pero sigue sin ser continua en a. Debemos añadir una tercera condición a nuestra lista:

tipos de continuidad

En el apartado 1.2 aprendimos cómo se puede utilizar el concepto de límites para estudiar la tendencia de una función cerca de un valor de entrada fijo. Al estudiar dichas tendencias, nos interesa fundamentalmente saber cómo se comporta la función en el punto dado, digamos \(x = a\). En la presente sección, pretendemos ampliar nuestra perspectiva y desarrollar un lenguaje y una comprensión para cuantificar cómo actúa la función y cómo cambia su valor cerca de un punto determinado. Además de pensar en si la función tiene o no un límite \(L\) en \(x = a\), también consideraremos el valor de la función \(f (a)\) y cómo este valor está relacionado con \(lim_{x→a} f (x)\), así como si la función tiene o no una derivada \(f ‘(a)\) en el punto de interés. A lo largo de este trabajo, nos basaremos y formalizaremos ideas que hemos encontrado en varios escenarios.

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Una función \(f\) definida en \(-4 < x < 4\) viene dada por la gráfica de la figura 1.7.1. Utiliza la gráfica para responder a cada una de las siguientes preguntas. Nota: a la derecha de \(x = 2\), la gráfica de \(f\) exhibe un comportamiento oscilatorio infinito, similar a la función \(\sin( \frac{π}{ x })\) que encontramos en el ejemplo clave al principio de la sección 1.2.

cómo comprobar la continuidad de una función en un intervalo

El concepto de límite es una de las cosas más importantes que hay que entender para preparar el cálculo. Un límite es un número al que se aproxima una función a medida que la variable independiente de la función se acerca a un valor determinado. Por ejemplo, dada la función f (x) = 3x, podrías decir: “El límite de f (x) a medida que x se acerca a 2 es 6”. Simbólicamente, esto se escribe f (x) = 6. En las siguientes secciones, definiremos más cuidadosamente un límite, así como daremos ejemplos de límites de funciones para ayudar a aclarar el concepto.

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La continuidad es otro concepto de gran alcance en el cálculo. Una función puede ser continua o discontinua. Una forma fácil de comprobar la continuidad de una función es ver si la gráfica de una función se puede trazar con un bolígrafo sin levantar el bolígrafo del papel. Para las matemáticas que hacemos en precálculo y cálculo, una definición conceptual de continuidad como ésta es probablemente suficiente, pero para las matemáticas superiores se necesita una definición más técnica. Utilizando los límites, aprenderemos también una forma mejor y mucho más precisa de definir la continuidad. Con la comprensión de los conceptos de límites y continuidad, estás preparado para el cálculo.

fórmulas de límite y continuidad

Muchas funciones tienen la propiedad de que sus gráficas se pueden trazar con un lápiz sin levantar el lápiz de la página. Estas funciones se llaman continuas. Otras funciones tienen puntos en los que se produce una ruptura en la gráfica, pero satisfacen esta propiedad sobre intervalos contenidos en sus dominios. Son continuas en estos intervalos y se dice que tienen una discontinuidad en un punto donde se produce una ruptura.

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Comenzamos nuestra investigación sobre la continuidad explorando qué significa que una función tenga continuidad en un punto. Intuitivamente, una función es continua en un punto concreto si no hay ninguna ruptura en su gráfica en ese punto.

Antes de estudiar una definición formal de lo que significa que una función sea continua en un punto, vamos a considerar varias funciones que no cumplen nuestra noción intuitiva de lo que significa ser continua en un punto. A continuación, creamos una lista de condiciones que impiden tales fallos.

Sin embargo, como vemos en [link], estas dos condiciones por sí solas no garantizan la continuidad en un punto. La función de esta figura satisface nuestras dos primeras condiciones, pero sigue sin ser continua en a. Debemos añadir una tercera condición a nuestra lista: