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Calcular series de fourier

Calcular series de fourier

Series complejas de fourier ejemplos y soluciones pdf

Derivamos la Transformada de Fourier como una extensión de la Serie de Fourier a funciones no periódicas. Luego desarrollamos métodos para encontrar la Transformada de Fourier usando tablas de funciones y propiedades, para evitar la integración. Ahora podemos cerrar el círculo y utilizar estos métodos para calcular la serie de Fourier de una función aperiódica a partir de la transformada de Fourier de un período de la función. En otras palabras, ¡calcularemos los coeficientes de la serie de Fourier sin integración! Comenzamos con una descripción de la relación entre la Transformada de Fourier de una función y la Serie de Fourier de su extensión periódica.

Comparando las ecuaciones y observando que xT(t)=x(t) sobre el invervalo de integración, podemos ver que la relación entre los coeficientes de la serie de Fourier, cn, y la Transformada de Fourier, X(ω), viene dada por

Hallar la representación en serie de Fourier del tren de pulsos periódicos xT(t)=ΠT(t/Tp). Como xT(t) es la extensión periódica de x(t)=Π(t/Tp), y sabemos por una tabla de la Transformada de Fourier (o por un trabajo anterior)

Cómo encontrar la serie de fourier de una función

La fórmula de la serie de Fourier proporciona una expansión de una función periódica f(x) en términos de una suma infinita de senos y cosenos. Se utiliza para descomponer cualquier función periódica o señal periódica en la suma de un conjunto de funciones oscilantes simples, es decir, senos y cosenos. Comprendamos la fórmula de la serie de Fourier mediante ejemplos resueltos.

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Ejemplo 2:  Encontrar la serie de Fourier para la onda periódica cuadrada 2π definida en el intervalo [-π,π]:\({f\left( x \right) \text{ = }}kern0pt {\begin{cases} 0, & \text{if} & – \pi \le x \le 0 \\\ 1, & \text{if} & 0 < x \le \pi \end{cases}.})

({{a_n}} = \frac{1}{\pi} {\int\limits_{\i}} – \pi }^\pi {f\left( x \right)\costos nxdx}} } = {\frac{1}{pi}{int\\\\i}{0^\pi}{1}{\cdot{\i}{\i}{xdx}} } = {\frac{1}{pi} {\left[ {\left. {\left( {\frac{{sin nx}}{n} \right)} \right|_0^\pi } \right] } = {\frac{1}{\pi n}} \cdot 0 }={ 0,}\cdot)

({{b_n} = {frac{1}{pi}{int\\\\\\}limits_{ – \pi }^\pi {f\left( x \right)\\\\\}sin nxdx} } = {\frac{1}{pi}{int\\\\i}{0^\pi}{1}{\cdot{\i}{\i}{xdx}} } \\N – = {\frac{1}{pi} {\left[ {\left. {\left( {\frac{{cos nx}}{n}} \right)} \right|_0^\pi } \right] } = { – \frac{1}{\pi n}} \cdot \left( {\cos n\pi – \cos 0} \right) } = {\frac{1 – \cos n\pi }}{\pi n}}.}

Serie de fourier de x^2

La fórmula de la serie de Fourier da una expansión de una función periódica f(x) en términos de una suma infinita de senos y cosenos. Se utiliza para descomponer cualquier función periódica o señal periódica en la suma de un conjunto de funciones oscilantes simples, es decir, senos y cosenos. Comprendamos la fórmula de la serie de Fourier mediante ejemplos resueltos.

Ejemplo 2:  Hallar la serie de Fourier para la onda periódica cuadrada 2π definida en el intervalo [-π,π]:\({f\left( x \right) \text{ = }}\kern0pt {\begin{cases} 0, & \text{if} & – \pi \le x \le 0 \\ 1, & \text{if} & 0 < x \le \pi \end{cases}.})

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Solución: Primero calculamos la constante \\N(a_0\): \({a_0} = \frac{1}{\pi}{int\limits_{ – \pi }^\pi {f\left( x \right)dx} } = {\frac{1}{pi}{int\limits_0^\pi}{1dx} } = {\frac{1}{pi} {\cdot} \cdot \pi }={ 1.}\\\c) Encuentre ahora los coeficientes de Fourier para n≠0: \({{a_n} = \frac{1}{pi }\int\limits_{ – \pi }^\pi {f\left( x \right)\ccos nxdx}} } = {\frac{1}{pi}{int\\\\i}{0^\pi}{1}{\cdot{\i}{\i}{xdx}} } = {\frac{1}{pi} {\left[ {\left. {\left( {\frac{{sin nx}}{n} \right)} \right|_0^\pi } \right] } = {\frac{1}{\pi n}} \cdot 0 }={ 0,}\cdot) ({{b_n} = {frac{1}{pi}{int\\\\\\}limits_{ – \pi }^\pi {f\left( x \right)\\\\\}sin nxdx} } = {\frac{1}{pi}{int\\\\i}{0^\pi}{1}{\cdot{\i}{\i}{xdx}} } \\N – = {\frac{1}{pi} {\left[ {\left. {\left( {\frac{{cos nx}}{n}} \right)} \right|_0^\pi } \right] } = { – \frac{1}{\pi n}} \cdot \left( {\cos n\pi – \cos 0} \right) } = {\frac{1 – \cos n\pi }}{{\pi n}}.}) Como cos nπ = (-1)n, podemos escribir \({b_n} = \frac{1 – {\left( { – 1} \right)}^n}}{{\pi n}.\})

Calculadora de la línea de fourier

Considere la función de pulso periódico que se muestra a continuación. Es una función par con periodo T. La función es una función de pulso con amplitud A, y ancho de pulso Tp. La función puede ser definida sobre un período (centrado alrededor del origen) como $$x_T(t) = \\N-izquierda{ {\matriz{

Los valores de an se dan en la tabla siguiente. Nota: este ejemplo se utilizó en la página de introducción a la serie de Fourier. Nótese también, que en este caso an (excepto para n=0) es cero para n par, y disminuye como 1/n a medida que n aumenta.

{c_n} &= {1 \ sobre T} {int\limits_{ – {T \ sobre 2}}^{ + {T \ sobre 2}} {{x_T}(t){e^{ – jn{\omega _0}}dt} = {1 sobre T}int\limits_{ – {{T_p}} \sobre 2}}^{ + {{T_p}} \sobre 2}} {A{e^{ – jn{omega _0}}dt} \cr

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Hasta ahora, todas las funciones consideradas han sido pares o impares, pero la mayoría de las funciones no son ninguna de ellas. Esto no presenta ninguna dificultad conceptual, pero puede requerir más integraciones. Por ejemplo, si la función xT(t) se parece a la siguiente

xT(t) tiene simetría de media onda Una función periódica tiene simetría de media onda si f(t-T/2)=-f(t). En otras palabras, si se desplaza la función la mitad de un período, entonces la función resultante es la opuesta a la función original. La onda triangular tiene simetría de media onda. Véase más abajo la aclaración. Una función puede tener simetría de media onda sin ser par o impar.

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